刚刚，GPT-6 Astra联手非职业数学家，证明57年“摆圆” 难题

人工智能在数学证明领域的应用正呈现出全面铺开的态势。

最近，一位数学爱好者借助GPT-6 Astra，将一个存在了57年的数学难题向前推进了重要一步。

这个问题的表述其实很直观：

给定N个半径为1的圆盘，要如何将它们放入一个大圆中，使得这个大圆的半径尽可能小？

实际上，数学家早在1969年就设计出了漂亮的排列方案，但问题在于——57年来，始终没有人能在数学上严格证明那是最优解。

如今，这位名为nor的数学爱好者拿出了GPT-6 Astra……并一举将15、16、17、18和20这五种情况，即N≤20范围内尚未解决的案例全部给出了严格证明……

在此之前，只有N≤14以及N=19的情况得到了验证。

顺便提一句，N达到20并不是AI的能力上限，只是nor没有继续往下证明而已……

半个世纪未解的证明

让我们先用更数学的语言来梳理一下这个问题。

假设有N个半径为1的圆盘，以及一个半径为R的大圆。

要求如下：

所有小圆盘必须完全处于大圆内部，可以与大圆边界相切，但不得超出边界。

任意两个小圆盘之间不能有内部重叠，但允许彼此相切。

小圆盘可以在大圆内随意移动和排列，没有排列方式的限制。

问题在于：对于给定的正整数N，大圆半径R的最小值是多少？

这看似是一道普通的奥数题，但实际上，找到最优排列只是第一步，真正的难点在于如何在数学上严格证明该排列已经达到极限，不存在更优的摆法。

1968年，美国数学家葛立恒证明了N≤7的情况。

1969年，数学研究者Udo Pirl将证明推进到10个圆盘，并进一步探讨了11-19个圆盘的排列方案。

然而，直到2003年左右，N≤14以及N=19的情况才得到严格证明。

nor是一位长期专注于数学、机器学习和优化算法的技术作者，曾多次公开参与AI辅助的数学研究。

他本人十多年前就注意到了这个题目，而这个问题在过去十几年里几乎毫无进展……

既然如此，干脆交给GPT-6 Astra来处理（bushi）。

nor采用了循序渐进的方式：先让GPT-6 Astra处理N=15的情况；模型解决后，再让它将相同的方法推广到16、17，以及18和20……GPT-6 Astra均成功给出了证明结果。

只不过……

证明过程依然晦涩难懂，令人难以理解。

简单来说，GPT-6 Astra的核心思路是：

不再直接寻找最优解，而是通过几何约束，将无限多种可能的排列压缩为有限的情况，再借助计算机逐一排除，最终严格证明经典排列已是最优。

证明过程分为5步：

将外围圆盘推向边界。证明在满足特定条件时，可以将靠近外圆的圆盘向外移动，而不会引发重叠。这样就将圆盘分为边界上的一组和内部的一组。

利用角度关系排除大量排列。由于圆盘不能重叠，它们之间必须保持一定的角度间隔。如果某种排列所需的角度总和超过360°，就可以直接排除。

让计算机枚举剩余可能。不再搜索每个圆盘的具体坐标，而是检查圆盘到圆心的距离区间及其环绕次序。

用几何刚性证明精确最优。前面的搜索只能证明所有可行排列都非常接近已知的经典排列。接下来利用圆盘之间的接触约束，证明这些排列无法发生符合条件的微小变形，从而将“非常接近”提升为“严格一致”。15个圆盘的情况使用了另一种奇数环论证。

还原原始排列。最后证明，原始排列中必然至少有一个圆盘接触外圆边界。这意味着不可能将所有圆盘塞进半径更小的外圆，从而完成最优性证明。

需要强调的是，nor并非只给了一轮提示词，Astra就一次性完成了所有证明。

nor在博客文章中写道，他作为人类，在这项工作中的贡献包括：

确定问题的可行性、引导模型、与漏洞百出的网页用户界面作斗争、忍受糟糕的文案、修复细微问题、反复推敲阐述、手动验证其有效性，以及使用Astra和Opus 5.5重新检查所有内容。

一点补充

有趣的是，nor公布结果后发现，用AI研究同一问题的同行还真不少。

还有网友表示，AI的突破让数学变得更易理解，“我都不知道数学领域能有这么浓厚的探索氛围”。

从数学爱好者的角度来看，这或许也意味着数学2.0时代的一种新气象。

原文链接：

[1]https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/

[2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017

本文来自微信公众号“量子位”，作者：关注前沿科技，36氪经授权发布。